卷积到底卷了个啥？

卷积到底卷了个啥？

        卷积的公式我背得滚瓜烂熟。你要让我计算一个卷积，我也算得出来。但是你要问我啥时候应该用卷积，我还真不知道，卷积用来干嘛的呢？
        先看卷积的公式：

        这是个啥啊，两个函数的乘积再做积分，有点像傅里叶正变换，也是2个函数乘积再做积分。是不是暗示着这二者之间的联系。

        是的，这两者都是看世界不同的方式。

        傅里叶变换是把函数看成是三角函数（正弦和/或余弦函数）线性组合。

        而卷积是把函数看成是很多个格子的组合

        

         卷积怎么就是这些小格子的组合了呢？这里要引入一个新的函数--阶跃函数。

         对 做 或者 操作，则会使图像移动：

         如果用2个阶跃函数做差，则留下一个小格子：

         我们再用无数个这样的小格子，可以组成原函数。于是原函数可以写成如下形式：

        

        n代表是第几个格子，又因为阶跃函数的高度总是1，所以需要乘以个,可以看成是第个小格子的高。

        再对上面的公式做一点小变换，我们对后面那一坨，乘以一个，再除以，则有

        

         假设足够的小，后面那一坨实际就是阶跃函数在时刻的导数：

        我们把这个导数写成:

g函数被称为冲击函数：只在0处有值，其他地方都是0 

        再把累加换成积分，换成，于是就有了：

        实际我们看出来，卷积和傅里叶变换是等价，都是对于函数的2种不同的分解。不同的地方在于，傅里叶变换是把函数分解成三角函数（正弦和/或余弦函数）线性组合，而卷积是无限多个小格子的组合。傅里叶分解是在频域中分解，卷积是在时域中分解，其实是一回事。所以我们说：

        时域上的乘积相当于频域上的卷积（卷积定理）

        

注：单位冲击函数的傅里叶变换后，只存在直流分量，且为1

        回到文章开始的问题中来，卷积可以干什么？傅里叶变换能做的事情，卷积都能做。比如滤波、去噪、边缘检测等.

        那么新的问题来了，不用冲击函数行不行，要是用其他的函数是啥意思呢。请看我另一篇文章。